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A Função de Heaviside no Mathematica

Observe que na definição de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César no Exemplo 18, não fizemos uso algum de funções características: a função foi definida usando-se comandos condicionais como os que se vê em outras linguagens de programação. Contudo, não existem milagres em computação. Sob condições "normais", funções definidas em termos de comandos condicionais clássicos como If, Which ou Switch não são "genuinamente matemáticas". Isto é, elas não respondem a operações como tomar limites, calcular derivadas, integrais, etc. Para se conseguir isto, uma saída consiste em passar esse comportamento para funções características apropriadas e exprimir as funções "genuinamente matemáticas" em termos de funções características (quando possível). Vejamos como isto é feito no Mathematica.

Nas versões mais recentes do Mathematica  o kernel contém apenas uma função característica fundamental: é a função de Heaviside, aí chamada de UnitStep. Após atribuirmos um valor a x (pertencente a © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César), a expressão

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

retornará © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César ou © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César conforme o valor lógico da condição x>=0 seja verdadeiro ou falso. Em particular, UnitStep[0] é igual a 1. Eis a notação matemática escolhida para a função UnitStep:

Exemplo 19

No Mathematica, ao contrário do que ocorre no Winplot, a fórmula

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

é válida se e somente se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. O motivo é que a função sinal no Mathematica assume o valor © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César uma decisão mais natural do que a do Winplot, já que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César não tem sinal. Assim, caso se insistisse em manter a fórmula acima para © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, ter-se-ia © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César o que, aliás, é comum em muitos livros; veja Butkov[2], p.116. Nas últimas versões do Mathematica, porém, © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Exemplo 20

A semântica da função de Heaviside no Mathematica vai muito além de meramente executar um teste tipo If. Um banco de regras de transformação foi associado à função para uso em várias operações, conforme atesta, por exemplo, o cálculo da sua transformada de Laplace


Como já vimos, a função de Heaviside é simplesmente a função característica do intervalo © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Em teoria, não é necessário dispor de uma função característica para cada tipo de intervalo, já que toda função característica de um intervalo se exprime em termos da função de Heaviside (Exercício 5). Todavia, as transformações envolvidas podem se tornar cansativas em cálculos intensos, além de produzirem expressões longas e pouco intuitivas. Felizmente, o sofisticado sistema de manipulação simbólica do Mathematica nos permite definir funções características de intervalos usando a notação matemática tradicional. Por exemplo, após carregarmos o pacote para manipulação simbólica

podemos entrar com as notações

A partir daí, o sistema será capaz de interpretar corretamente expressões como © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. As definições acima dão conta de intervalos ilimitados; isto é, os extremos podem ser © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César ou © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Isto porque

e

Exemplo 21

Com as definições acima, a função © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César doExemplo 18 pode ser especificada assim:

Da expressão Plot[f[x],{x,-4,4}] resultará o mesmo gráfico de antes, mas agora é possível aproveitar o banco de regras de UnitStep para o cálculo de limites, derivadas, etc.

Exemplo 22 (continuação)

Eis o cálculo do limite de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César à direita de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César (usando TraditionalForm na entrada):

O limite à esquerda é

Como os limites laterais são diferentes, a função é descontínua em © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Obviamente, este fato pode ser facilmente comprovado pelo exame do gráfico de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César (que já mostramos no Winplot).


Pode-se fazer muito mais com a função de Heaviside no Mathematica do que mostraremos neste artigo. Por exemplo, a função pode ser usada com mais de uma variável. Aplicações interessantes (envolvendo as funções generalizadas) serão dadas em outra ocasião.


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© Carlos César de Araújo - Quinta-feira, 09 de Maio de 2002