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A Função de Heaviside no Mathematica
Observe que na definição de
no Exemplo 18, não fizemos uso algum de funções características: a função foi definida usando-se comandos condicionais
como os que se vê em outras linguagens de programação. Contudo, não existem milagres em computação. Sob condições "normais", funções definidas em termos de comandos condicionais clássicos como
Nas versões mais recentes do Mathematica o kernel contém apenas uma função característica fundamental: é a função de Heaviside, aí chamada de
retornará ou conforme o valor lógico da condição
Exemplo 19No Mathematica, ao contrário do que ocorre no Winplot, a fórmula é válida se e somente se . O motivo é que a função sinal no Mathematica assume o valor em uma decisão mais natural do que a do Winplot, já que não tem sinal. Assim, caso se insistisse em manter a fórmula acima para , ter-se-ia o que, aliás, é comum em muitos livros; veja Butkov[2], p.116. Nas últimas versões do Mathematica, porém, . Exemplo 20
A semântica da função de Heaviside no Mathematica vai muito além de meramente executar um teste tipo
Como já vimos, a função de Heaviside é simplesmente a função característica do intervalo . Em teoria, não é necessário dispor de uma função característica para cada tipo de intervalo, já que toda função característica de um intervalo se exprime em termos da função de Heaviside (Exercício 5). Todavia, as transformações envolvidas podem se tornar cansativas em cálculos intensos, além de produzirem expressões longas e pouco intuitivas. Felizmente, o sofisticado sistema de manipulação simbólica do Mathematica nos permite definir funções características de intervalos usando a notação matemática tradicional. Por exemplo, após carregarmos o pacote para manipulação simbólica
podemos entrar com as notações
A partir daí, o sistema será capaz de interpretar corretamente expressões como ,, e . As definições acima dão conta de intervalos ilimitados; isto é, os extremos podem ser ou . Isto porque
e
Exemplo 21Com as definições acima, a função doExemplo 18 pode ser especificada assim:
Da expressão Exemplo 22 (continuação)
Eis o cálculo do limite de
à direita de (usando
O limite à esquerda é
Como os limites laterais são diferentes, a função é descontínua em . Obviamente, este fato pode ser facilmente comprovado pelo exame do gráfico de (que já mostramos no Winplot). Pode-se fazer muito mais com a função de Heaviside no Mathematica do que mostraremos neste artigo. Por exemplo, a função pode ser usada com mais de uma variável. Aplicações interessantes (envolvendo as funções generalizadas) serão dadas em outra ocasião. |
© Carlos César de Araújo - Quinta-feira, 09 de Maio de 2002 |