O Delta de Kronecker
Como se sabe, a multiplicação de matrizes possui um elemento neutro, a matriz identidade. Mais precisamente, a matriz identidade de ordem 
é a matriz 
, quadrada de ordem 
, que é 
na diagonal principal e 
fora ela. Exemplificando:
Para descrever o elemento genérico de tais matrizes, utiliza-se o delta de Kronecker, indicado com a letra 
(delta) afetada por dois índices (indicadores de linha e coluna, respectivamente). A definição é a seguinte:
O delta de Kronecker
Com esta notação, o elemento 
da matriz identidade é 
, de modo que
Por exemplo, para 
temos:
A principal propriedade do delta de Kronecker é a sua capacidade de "filtrar" elementos numa soma:
É fácil entender esta igualdade. O produto 
é igual a 
se 
; se 
, então 
. Exemplificando:
Em termos de matrizes, a propriedade de filtragem do delta de Kronecker afirma simplesmente que
para toda matriz 
de dimensões 
.
Podemos relacionar o delta de Kronecker com funções características de mais de uma maneira. Uma delas é a seguinte:
Quando expresso em termos de funções características de conjuntos unitários, a propriedade de filtragem nos revela o seguinte resultado mais geral. Considere uma função 
e dois conjuntos finitos 
. Então fica claro que
Para aqueles que conhecem a notação tradicional de somatório, a expressão acima não requer grandes comentários. Aplicações interessantes desse resultado simples serão vistas em outro artigo.
O delta de Kronecker possui implementações em vários softwares. O Mathematica é um deles. Mas teremos que deixar o desenvolvimento deste assunto para outra oportunidade.
Exercício 6
O delta de Kronecker aparece na planilha eletrônica Excel como uma função de duas variáveis com nome DELTA. Nos arquivos de ajuda lê-se o seguinte (na versão em português):
"Utilize esta função para filtrar um conjunto de valores. Por exemplo, somando várias funções DELTA, você pode calcular a contagem de pares iguais."
Esclareça a última afirmação por meio de um exemplo.