As equações de rotação são mais facilmente descritas em termos de matrizes. Assim, em vez de as apresentarmos como as duas equações
podemos reuni-las numa única igualdade matricial:
Matrizes da forma
são chamadas matrizes de rotação. Tais matrizes possuem propriedades especiais muito interessantes. A começar pelo cálculo do determinante,
o qual nos mostra que essas matrizes são todas inversíveis. O cálculo da inversa pode ser feito mentalmente de acordo com a fórmula
onde usamos “
” para o determinante. Segue-se daqui que
onde o sobrescrito “
” indica a operação de transposição. (Uma notação péssima, embora comum.) Em resumo: toda matriz de rotação é inversível e sua inversa é simplesmente a sua transposta.
Para facilitar a apresentação de outras propriedades, escrevamos
Lembrando que 
e 
, podemos reescrever (6) da seguinte maneira:
Em palavras: a inversa de uma matriz de rotação também é uma matriz de rotação 
de ângulo oposto.
Quando se multiplicam duas matrizes de rotação, o resultado ainda é uma matriz de rotação. De fato, as fórmulas de adição de arcos da Trigonometria nos permitem verificar que
Como se vê, o ângulo do produto é a soma dos ângulos dos fatores.
Finalmente, é digno de nota que a matriz identidade 
é uma matriz de rotação:
Exercício 1
Mostre que é possível deduzir (8) de maneira mais simples usando (9) como ponto de partida.
Exercício 2
Da exposição feita acima, conclua (em apenas uma linha) que um produto de matrizes de rotação não depende da ordem dos fatores.
Exercício 3
Diz-se que uma matriz quadrada 
é ortogonal quando 
. Prove que toda matriz 
de rotação é ortogonal.
Exercício 4
Com relação ao Exercício anterior, cabe notar que nem toda matriz ortogonal é de rotação. Por exemplo, verifique que, para todo 
, a matriz
é ortogonal. Contudo, matrizes desse tipo não descrevem rotações. Convença-se disto por meio do Winplot. Marque o ponto 
e, depois, o seu transformado
pela matriz acima (com 
substituído por 
).