O estudo analítico das rotações de figuras geométricas, tanto no plano como no espaço, repousa sobre o seguinte problema:
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Como se transformam as coordenadas de um ponto no plano após uma rotação segundo um ângulo |
no sentido anti-horário?
Ou seja, considere um ponto 
no plano cartesiano. Imagine agora que o ponto 
é girado de um ângulo 
no sentido anti-horário. Após a rotação, cairemos num novo ponto 
. Quais são as coordenadas de
? Como se relacionam com as de
? Existe uma fórmula simples que nos dê as coordenadas 
e 
do ponto
em função das coordenadas 
e 
do ponto
?
Antes de prosseguir, convém notar um detalhe: não especificamos o centro da rotação. Mencionamos o ângulo (
) e o
sentido (anti-horário) da rotação, mas não o ponto em torno do qual se deve efetuá-la. Quando não dissermos qual é o centro da rotação, ficará implícito que se trata do ponto 
, a origem do sistema ortogonal padrão.
O nosso problema é, portanto, o seguinte: quais serão as coordenadas do ponto
após percorrer um arco de ângulo 
com centro na origem?
Há várias maneiras de se encontrar uma fórmula para o ponto transformado. Todas elas se baseiam num simples cálculo trigonométrico que estabelece a relação fundamental entre dois sistemas de coordenadas: o retangular e o polar. Entretanto, não é necessário nenhuma familiaridade sistemática com o sistema polar para prosseguir. Sejam 
a distância do ponto
à origem e 
o ângulo que o segmento 
forma com a parte positiva do eixo 
.
Uma simples figura como esta mostra-nos imediatamente que
Isso posto, veja o que acontece quando o ponto
gira de um ângulo : a distância à origem não se altera, mas o ângulo com a parte positiva do eixo 
passa a ser 
.
Conseqüentemente, para o ponto 
obtido após a rotação, teremos
Estamos pertos da solução final. O passo seguinte consiste em desenvolver o cosseno e o seno em (2) de acordo com as bem conhecidas fórmulas para a adição de arcos que aprendemos no colégio. Eis o resultado:
Finalmente, substituímos 
por 
e 
por 
em conformidade com as equações (1). Isto nos conduz diretamente a
ou ainda, após reordernar os termos de 
:
equações fundamentais de rotação
Estas são as equações que buscávamos. Elas mostram como as coordenadas de um ponto
se alteram após uma rotação positiva (anti-horária) de ângulo
em volta da origem. Mostraremos daqui a pouco como o uso de matrizes facilita
enormemente a memorização dessas fórmulas.