A Regra de Cramer Novamente


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A igualdade (8)

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vista há pouco, nos dá uma demonstração e, ao mesmo tempo, uma reformulação da Regra de Cramer. O ponto de partida é o sistema

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tal como anteriormente. Se multiplicarmos à esquerda os dois membros por © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e usarmos a igualdade (8), teremos

ou

Agora, basta um pequeno instante de reflexão para perceber que o sistema (9) é o mesmo sistema (7) que discutimos antes. A única diferença é que os determinantes de Cramer © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César do sistema (7) aparecem em (9) desenvolvidos em relação aos cofatores da coluna © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Mais precisamente,

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Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, então podemos concluir de (9) que

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Eis aí, em essência, a “Regra de Cramer”.

A vantagem de (9) é que ela nos permite ver mais claramente onde está o erro da condição (T2) do nosso equivocado teste. Pelo fato de termos obtido o sistema (9) multiplicando o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César pela matriz © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, fica evidente que esses sistemas não são, em geral, equivalentes (a menos que a adjunta seja inversível). Em particular, vejamos novamente o que acontece quando

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Isto é o mesmo que dizer que

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Neste caso, portanto, vamos do sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César ao sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César (onde © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é a matriz nula). A multiplicação pela adjunta de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, neste caso, “destrói” completamente o sistema original! Claramente, o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César possui infinitas soluções, mas daqui não se pode concluir o mesmo quanto a © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Exercício 2

Mostre que os sistemas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e (9) são equivalentes quando © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br