O Falso Teste


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Considere um sistema linear © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é quadrada. O falso teste para a determinação do número de soluções reais desta equação consiste no seguinte procedimento.

(1) Forme as matrizes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César como nas páginas anteriores. Aqui, © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é a ordem da matriz © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César dos coeficientes.

(2) Calcule os © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César determinantes de Cramer © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Feito isto, siga os seguintes casos:

(T1) Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e algum dos determinantes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é diferente de zero, então o número de soluções é zero.

(T2) Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e todos os determinantes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são zero, então o número de soluções é infinito.

(T3) Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, o número de soluções é 1.

Estas três cláusulas constituem o teste que, como já dissemos, contém um grave equívoco, mas que persiste teimosamente em muitos textos escolares. Onde está o erro?

As afirmações (T1) e (T3) são verdadeiras; na verdade, são conseqüências triviais da Regra de Cramer, conforme veremos depois. Contudo, (T2) é completamente falsa! É aqui que reside o ponto fraco do teste.

Como se pode provar que (T2) é falsa? É uma questão de lógica elementar: basta produzir um contra-exemplo, isto é, um exemplo da sua negação. Ou seja, basta descobrir uma matriz © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César tal que a hipótese

"© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e todos os determinantes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são zero"

é verdadeira, mas a tese

"o número de soluções é infinito"

é falsa. Veremos dois contra-exemplos nas próximas páginas.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br