Contra-exemplo


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Contra-exemplo

Tomemos o sistema

A matriz dos coeficientes é

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

As matrizes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César da Regra de Cramer são

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Um cálculo direto mostra que todos os respectivos determinantes são nulos:

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Se o teste enunciado na página anterior fosse integralmente verdadeiro, então, de acordo com a cláusula (T2), deveríamos concluir que o número de soluções é infinito, isto é, que o sistema é indeterminado. Todavia, o número de soluções é zero! Basta examinar com mais atenção as duas últimas equações:

Os primeiros membros são idênticos. Logo, se existisse solução, teríamos © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, uma contradição. Estas equações são inconsistentes, o que torna impossível qualquer sistema que as contenha.

O exemplo que acabamos de dar foi tirado da referência [6] da bibliografia. Na página 311 da edição brasileira, é dito explicitamente (em outras palavras) que da nulidade de todos os determinantes de Cramer nada se pode concluir: "o sistema pode ser ou não possível". Na lista de "Problemas Resolvidos", o autor fornece (Problema Resolvido 24) o contra-exemplo que discutimos acima.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br