Questão Básica


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Relembrada a Regra de Cramer, passemos ao enunciado do falso resultado que anunciamos na Introdução. Mas antes, tenhamos em mente as duas questões fundamentais que surgem quando se está envolvido com a resolução de equações em geral. No nosso caso, a primeira delas é simplesmente esta:

Quantas soluções reais possui um sistema linear © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César?

Estamos supondo que os coeficientes e os termos constantes do sistema são números reais arbitrários. Neste caso, o universo numérico mais vasto é © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Cada solução do sistema é uma © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César-upla ordenada de números reais. Perguntamos: quantas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César-uplas de números reais podem ser soluções do sistema?

Resumidamente, a resposta é: nenhuma, uma ou infinitas. Estas são as três única opções possíveis em © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Colocamo-las no quadro abaixo juntamente com as suas denominações tradicionais.

O sinal “© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César” é o famoso “símbolo de infinito”. Usamo-lo aqui como um número cardinal para indicar uma infinidade de soluções.

Parece-me indubitável que o raciocínio matemático se torna mais ágil quando substituímos longas descrições verbais por formulações simbólicas compactas, claras e naturais. Assim, em vez de repetirmos a todo instante as frases longas

“impossível”, “possível e determinado” e “possível e indeterminado”,

adquirimos maior controle da situação quando percebemos que estamos simplesmente discutindo as possibilidades

“zero”, “um” e “infinito”

quanto ao número de soluções reais de um sistema de equações. Estamos meramente discutindo a cardinalidade do conjunto-solução de uma equação da forma © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são matrizes (de números) reais, sendo © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César quadrada. Se quiséssemos indicar esse número cardinal por um símbolo, digamos

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

então poderíamos ter dito apenas:

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

A segunda questão que se coloca é: como decidir, na prática, qual dessas três possibilidades ocorre?

É como uma resposta a esta segunda questão que se propôs o falso teste baseado na Regra de Cramer. Vamos enunciá-lo na próxima página.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br