A Regra de Cramer


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A chamada “Regra de Cramer” nos dá uma fórmula para resolver sistemas lineares do tipo

em termos de determinantes. A regra nos fornece instruções precisas para o cálculo das incógnitas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em função dos coeficientes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e dos termos © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Observe que o sistema acima consiste de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César equações lineares com © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César incógnitas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Assim, o número de equações é igual ao número de incógnitas. A fórmula de Cramer só se aplica a sistemas lineares dessa espécie.

Uma maneira de apresentar a Regra de Cramer, comum em textos antigos, é a seguinte:

Nesta notação arcaica, © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é o determinante do sistema (1), isto é, o determinante da matriz dos coeficientes:

Os numeradores em (2) também são determinantes, os quais se relacionam com © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César da seguinte maneira:

Para cada © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César a © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é o determinante que se obtém de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César substituindo-se a sua © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César-ésima coluna pela coluna dos termos constantes.© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

Os termos constantes do sistema (1) são © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César; eles não dependem das incógnitas. De acordo com o parágrafo precedente, devemos ter:

Nas páginas que se seguem, usaremos ocasionalmente o termo “determinantes de Cramer” para nos referirmos a © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em geral. Em breve daremos dois exemplos concretos de aplicação da regra.

Nos textos atuais, a notação matricial tem um papel maior. Houve época em que se falava em “teoria dos determinantes” (na tradição de Laplace, Cauchy e Gauss); as matrizes não eram mencionadas. Hoje já não se fala mais em “determinante”, mas em “determinante de uma matriz”. As matrizes estão no centro das atenções. O determinante é apenas uma função de matrizes: para cada matriz  quadrada (de números reais) © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, temos o número real

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

o determinante de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Além desta notação com barras, usaremos também

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

A função © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César leva matrizes em números reais.

Em termos de matrizes, o sistema (1) pode ser escrito como

onde

Neste contexto, tornou-se comum apresentar as igualdades (2) assim:

onde © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é a matriz que se obtém de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César colocando (os elementos de) © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em sua © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César-ésima coluna.

Há mais um detalhe importante sobre a Regra de Cramer: ela só se aplica a sistemas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César para os quais © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, isto é

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

Esta restrição torna-se evidente a partir da própria regra tal como apresentada em (2) ou em (6). Como as incógnitas são expressas por frações nas quais o determinante do sistema figura nos denominadores, é necessário supor que esse determinante seja não-nulo © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César uma vez que a divisão por zero é impossível.

Em resumo, a Regra de Cramer nos diz que para toda matriz quadrada © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César tal que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César (seja qual for © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César) tem solução única, e esta solução é dada por


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br