Consertando o Erro


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Voltemos ao caso dos sistemas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é uma matriz quadrada de ordem © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Utilizaremos o Teorema de Rouché para mostrar como fortalecer as condições

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a fim de que se possa concluir que o sistema é indeterminado. Eis o resultado:

Demonstração.

Observe que o enunciado desse teorema difere da condição (T2) somente pelo fato de “© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César” ter sido substituído por “© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César”. Isto é, a condição sobre o determinante da matriz A foi substituída por uma restrição mais forte sobre a sua característica. O teorema acima aparece como parte do Teorema 19 (p. 981) da referência [2], embora seja formulado diferentemente e sem nenhuma conexão com o tipo de erro que ora discutimos.

Exemplo 7

Para o sistema do primeiro contra-exemplo, temos © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Se fosse © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, então, pelo teorema que acabamos de provar, aquele sistema teria uma infinidade de soluções. Mas um argumento simples nos mostrou que o sistema é impossível. Só resta concluir, portanto, que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César conclusão que havíamos obtido por cálculo direto no Exemplo 6.


Exercício 6

Prove que a condição © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é realmente mais forte do que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Exercício 7

Prove que para © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, as condições

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implicam que o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é indeterminado.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br