A Origem do Erro


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Fiz questão de apresentar um contra-exemplo tirado de uma publicação conhecida ([6]) para mostrar que um mínimo de apego à farta literatura existente seria suficiente para impedir que os autores brasileiros (ou de qualquer canto do orbe) cometessem um erro tão ingênuo. Resta saber o que os teria levado a tirar uma conclusão visivelmente falsa da Regra de Cramer. Para isto, teremos que examinar a própria regra em uma forma um pouco “recuada”.

O argumento clássico que conduz à Regra de Cramer é, em linhas gerais, o seguinte. Partindo de um sistema linear

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é uma matriz © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, é possível, mediante certas transformações que examinaremos adiante, levar o sistema à forma

O que temos aqui é também um sistema linear com © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César equações nas variáveis originais, só que muito mais simples, já que todas as equações são da forma © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Podemos dizer que o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César foi transformado em © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, onde © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é diagonal. Para se chegar a este ponto, nenhuma hipótese especial sobre as matrizes © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César se faz necessária. Prova-se apenas que toda solução do sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é solução do sistema simplificado (7), isto é:

Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, então © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é solução do sistema (7).

Naturalmente, a intenção primordial aqui é o cálculo de © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. A fim de que possamos concluir validamente de (7) que

temos que assumir uma hipótese: a de que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Portanto, vale a seguinte implicação:

© Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

Estritamente falando, isto por si só não garante que as frações © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César compõem uma solução do sistema inicial. É necessário fazer o raciocínio inverso e verificar que os candidatos assim apontados realmente satisfazem o sistema. Mas, conforme ficará claro depois, trata-se de tarefa bem fácil,  de modo que podemos dar o caso © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César por encerrado. Com isto, provamos que a condição (T3) é verdadeira.

Vejamos agora o que acontece com (7) se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Temos então dois casos a considerar: ou todos os © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são zero ou pelo menos um deles é diferente de zero.

Se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César mas pelo menos um dos © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é diferente de zero, então, claramente, teremos pelo menos uma equação em (7) da forma © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Mas tal equação é impossível, donde o sistema (7) também o é. Como toda solução do sistema inicial é solução de (7), a impossibilidade de (7) acarreta a impossibilidade do sistema original. Com isto provamos a condição (T1).

Finalmente, se © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e todos os © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são zero, então todas as equações em (7) são da forma © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Ora, tais equações são satisfeitas por quaisquer © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, já que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César vezes qualquer número é sempre © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Sendo satisfeitas por todos os © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, o sistema (7) possui infinitas soluções.

É aqui que tem início, creio, a origem do raciocínio falacioso que conduz à condição (T2). Pensou-se que o sistema inicial © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César também deveria possuir infinitas soluções neste caso. Dissemos que toda solução do sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é solução de (7), mas esses dois sistemas não são equivalentes em todos os casos. As manipulações algébricas que transformam o sistema © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César no sistema (7) não preservam as soluções do primeiro no caso em que © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e todos os © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são zero.

Podemos ver mais claramente que os sistemas © Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e (7) nem sempre são equivalentes se reescrevermos este último numa forma mais compacta utilizando o conceito de adjunta de uma matriz. Isto será visto na página seguinte.


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© Carlos César de Araújo, 12 de abril de 2002 - cca@gregosetroianos.mat.br