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Modificações

Os erros do artigo em exame tiveram sua origem na especificação dos números © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César (os que se obtêm de N por uma permutação dos algarismos). Veremos agora que, mediante uma pequena alteração de percurso, podemos conseguir um argumento correto que não dependa explicitamente dessa delicada questão. As modificações são:

(1) Mantemos o Lema 1 do artigo;
(2) Introduzimos uma definição: © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos Césarsoma dos algarismos decimais de N;
(3) Substituímos o Lema 2 pelo seguinte (uma conseqüência fácil do Lema 1):

Lema 2'. Para todo © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é múltiplo de 9.

Vejam, agora, como tudo se simplifica. Seja © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César um número que difere de N por uma permutação dos algarismos. Claramente, © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Portanto,

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

que é múltiplo de 9 porque, pelo Lema 2', © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são múltiplos de 9. CQD

Para um leitor humano, a vantagem desse argumento é o seu componente intuitivo: não precisamos de nenhuma especificação formal da frase "número que difere de N por uma permutação dos algarismos" para acreditarmos que © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, pois isso é uma conseqüência "intuitivamente óbvia" da comutatividade da adição.

Ainda seriam possíveis alguns "melhoramentos". Por exemplo, o autor poderia ter usado a linguagem das congruências, nos termos da qual uma expressão do tipo "© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é múltiplo de 9" se converte em "© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César", que desfruta de todas as vantagens manipulativas de uma relação de equivalência invariante sob somas e produtos. Nesse caso, exprimiríamos o Lema 2' como

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César;

e a prova de que © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César resultaria, então, de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e das propriedades simétrica e transitiva da relação © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. (Na verdade, essas propriedades foram provadas implicitamente no artigo.)

Parece-nos evidente que o autor evitou o uso de congruências (e da notação de somatório) visando tornar o seu artigo autosuficiente, ligeiro e acessível a um público mais amplo. Afinal, "truques" como esse — beneficiar-se de uma teoria "superior" ao provar um resultado, para depois apresentar os fatos apagando os rastros da teoria — são usados por todos os expositores em algum ponto de suas vidas. Aliás, não seria essa uma das razões pelas quais até os estudantes mais talentosos acham a Matemática tão difícil e desinteressante? Até quando se adiarão o ensino de ferramentas que foram concebidas justamente para facilitar o raciocínio?

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Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003