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Dificuldades

O caso particular visto na página anterior contém a essência do argumento. Se nos derem um numeral com uma quantidade definida de algarismos, e uma permutação particular dos mesmos, saberemos repetir o raciocínio. As dificuldades aparecem quando tentamos implementar o procedimento de maneira geral, pois o ato de generalizar normalmente envolve abstrações e requer maior precisão conceitual. No nosso caso, devemos começar com:

(1) um número natural © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César qualquer;
(2) um número N qualquer com n algarismos;
(3) um número © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César que só difere de N por uma permutação qualquer dos algarismos.

Esses são os nossos dados de entrada. Armado o cenário, devemos provar que

(4) © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é um múltiplo de 9.

É justamente a "montagem do cenário", a estruturação dos dados, que coloca dificuldades. Vejamos o item (2). Admitiremos que o leitor aceita como "natural" que nos refiramos aos algarismos de um número "qualquer" por meio de uma seqüência indexada por inteiros não-negativos. Assim, podemos escrever

"© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, com © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César"

para comunicar a idéia de que N é um número cujos algarismos decimais são © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. (Veja o Capítulo VII do CD Números.)

O problema surge com o item (3). Precisamos de uma tradução sucinta e manejável da relação

"os algarismos de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César são uma permutação dos algarismos de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César".

Um primeiro passo consiste em definir (ou "modelar") permutações como certas funções bijetoras, conforme fez o nosso autor. Lamentavelmente, ele se equivocaria nos passos seguintes.

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Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003