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A idéia

Antes de prosseguirmos, convém examinarmos a idéia por trás do argumento, que é correta e bem simples. Por exemplo, escreva

para designar um numeral decimal de três algarismos. (A rigor, teremos três algarismos se , mas esta restrição não será usada.) Agora, tomemos uma permutação desses algarismos, digamos

.

Queremos provar que a diferença é um múltiplo de 9. Ora, de acordo com as convenções do sistema de numeração posicional,

e

.

Portanto,

.

Esta soma é um múltiplo de 9 porque as diferenças são múltiplos de 9. (Veja o Lema 2 do artigo.) Era o que cumpria provar.

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Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003