1. Introdução ] 2. Versões alternativas ] [ 3. Comparação de cardinais ] 4. A heurística da demonstração ] 5. A demonstração ] 6. Referências ]

3. Comparação de cardinais

Quando escrevemos

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

estamos simplesmente dizendo que há menos elementos em A do que em B. Nada disso parece problemático, mas a questão é como definir essa comparação de "tamanho" para conjuntos em geral, incluindo os infinitos.

Definição. Se A e B são conjuntos, então © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César se e somente se as duas condições seguintes são satisfeitas:

(i) Existe uma função injetora de A em B;
(ii) Não existe função sobrejetora de A em B.

Esta definição não passa de uma tradução, em linguagem matemática precisa, da idéia de comparação que usamos para conjuntos finitos.

Agora, observe que se © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, existe uma injeção óbvia de A em © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, a saber, a função © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César definida por © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. (Verifique este fato.) Conseqüentemente, o Teorema de Cantor (na versão de Russell) se reduz a isto:

(III) Para todo conjunto A, não existe função sobrejetora © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

A prova desta afirmação pode ser encontrada em muitos textos clássicos de Teoria dos Conjuntos, mas aqui vamos reproduzi-la numa forma que, diferentemente das apresentações usuais, realça os teoremas lógicos envolvidos, particularmente a tautologia

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

que é discutida em outro artigo desta seção do site.

Voltar ] Capa ] Avançar ]


Carlos César de Araújo, 25 de julho de 2003